证券市场投资持仓与赌博中的凯利公式 Kelly Criterion

距离此前一篇经济学著作阅读与写作已经有几个月时间过去了，继续在证券投资领域深耕，除了认识到市场的大趋势，理解《证券股票市场熊市中谁在买入?》（ https://ufqi.com/blog/who-buy-in-bearish-stock-market/ ），还要把控自己的持仓比例，什么时候重仓，什么时候轻仓，在哪些投资标的上重仓，这些问题是投资人进阶修习的必要内容。

关于证券投资持仓比例的讨论网上有很多资料，其中一个技术流派就是凯利公式 Kelly Criterion 或者 Kelly Bet （ https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion ）。搜索引擎可以检索到很多相关内容，有兴趣可以径自前往。这篇Blog文章希望深入讨论凯利公式在赌马比赛中领悟到的数学公式可以应用到证券投资领域，作为持仓控制比例的一个数学公式（ https://ufqi.com/news/ulongpage.10403.html?tit=凯利公式半仓持股理论和赌徒输光定理-4[有视频] ）。

赌马或者其他类似的赌博，一般都会涉及到押上筹码，然后或赢或输。赢得赌博的话，或者1倍或者2倍以上甚至更多倍的收益；如果输掉赌博的话，则会损失掉全部的筹码。收益是上不封顶的，而损失就是投入的筹码部分。
与之不同的是证券投资，针对每一笔投资，投资赢得部分，通常不会有几倍之多，而可能只有几个或者几十个百分点。而投资失败损失的部分，通常也不会失掉全部筹码（100%），而可能只有几个或者几十个百分点的损失。

这是运用源于赌马赌博的凯利公式 Kelly Criterion 到证券投资所必需要搞清弄懂的核心部分。
根据网上的凯利公式 Kelly Criterion 的数学公式推导，其最终每一个投资比例的计算方法，大致有三种表达形式：

KC-A.
f = ( b*p – a*q ) / a*b
KC-B.
f = p / a – q / b
KC-C.
f = p – q / r , r = b / a

其中， f 是待计算的投资比例系数，多数情况下预期 0.0 ~ 1.0 之间，也可能是负数或者大于1.0的正数，
p 为本次投资赌马赌博赢的概率， 0.0 ~ 1.0 之间，
q 为本次输掉投资赌马赌博的概率，取值为 1 – p , 0.0 ~ 1.0 之间，
b 为赢得赌博时收益，相对单个筹码的比例值数（收益数值/筹码标价），一倍收益，1.0（100%），2.5倍收益（250%），大于零，也即是正收益时才有意义，
a 为输掉赌博时的损失，相对单个筹码的比例数值（损失数值/筹码标价），默认为全部筹码（1.0，或者 100%），0.5倍损失（50%），实际计算数值应为负数，表示损失；参与计算时取绝对值，应该不小于零，最小损失为零，表示无损失。

常见的例子，比如一场赌马，赢的概率是0.6，赌马的单枚筹码是10美元，如果赢得比赛将获得 10美元奖励，赛后加上原来的10美元筹码总资金将变成20美元（10 -> 20)；如果输掉比赛将损失掉筹码10美元，赛后资金变成零美元（10 -> 0）。
在这个例子中，
p = 0.6, q = 1-p = 0.4,
b = (20-10)/10 = 1.0, a = (0-10)/10 = -1.0（计算时取绝对值?）,
则每次赌马投入资金的比例 f 计算为：

f = ( b*p – a*q ) / a*b = ( 1.0*0.6 – 1.0*0.4 ) / 1.0*1.0 = 0.2
f = p/a – q/b = 0.6/1.0 – 0.4/1.0 = 0.2
f = p – q/r = p – q / (b/a) = 0.6 – 0.4 / (1.0/1.0) = 0.2

在这个例子中，三个表达公式 KC-A / KC-B / KC-C 得出了相同的投资比例系数 f = 0.2 （见下图表中的 e.g.3）。
在有福金融 UfqiFina 平台上，我们通过这三种表达公式分别代入了相关实例数据，得出如下一个对比数据表。

根据模拟录入的数据，计算出的各种情况下的投资比例系数f，在各种情况下出现了较大的不同。尽管从数学上来说，KC-A 等价于 KC-B，也即，

f = ( b*p – a*q ) / a*b
= (b*p)/a*b – (a*q)/a*b
= b*p/a*b – a*q/a*b
= p / a – q / b

尽管数学公式推导过程中是等价的，但显然各个系数是有取值范围约束的。
另外一个实例，也是网上有其他网友分享的麻省理工MIT教授信息论创始人科学家克劳德香农的半仓持股的例子。
假设某一时期某个证券股票市场，根据计算，当下入场买入，赢输的概率各自一半一半，也即，
p = q =0.5 ，就是赢的时候能够股价翻倍，原股价（筹码）为1x，也即，
b = （2x – 1x）/ 1x = 1.0 ，输的时候股价打五折，也即，
a = （0.5x – 1x）/ 1x = -0.5 ，（计算时取绝对值?）.

f = ( b*p – a*q ) / a*b = ( 1.0*0.5 – 0.5*0.5 ) / 1.0*0.5 = 0.5
f = p/a – q/b = 0.5/0.5 – 0.5/1.0 = 0.5
f = p – q/r = p – q / (b/a) = 0.5 – 0.5 / (1.0/0.5) = 0.25

此时计算的投资比例系数 f 出现了差异，使用公式 KC-C 的结果与 KC-A / KC-B 的并不一致（见上图表中 e.g.5）。
原因何在？在这个假设的情景中，到底是每次投入 0.5比例50%的资金，还是 0.25比例25%的资金呢？为何同一个推导公式会出现不同的结果呢？

更进一步地测试，当我们将这个例子中的 b 由 1.0 扩大一个百分点到 1.01， a 由 0.50 也扩大一个百分点到 0.51 时，也即，
b = 1.01， a = 0.51

此时计算三个公式表达式，出现的差异就更大更明显了：

f = ( b*p – a*q ) / a*b = ( 1.01*0.5 – 0.51*0.5 ) / 1.01*0.51 = 0.4951
f = p/a – q/b = 0.5/0.51 – 0.5/1.01 = 0.4853
f = p – q/r = p – q / (b/a) = 0.5 – 0.5 / (1.0/0.5) = 0.2475

三个公式表达式出现了三个完全不同的结果（见上图表中 e.g.6），进一步地说明凯利公式 Kelly Criterion 在实际应用中需要针对实际情况做具体分析，设若在这样的情景中，最终的投资比例该做怎样的选择？
f = 0.49， f = 0.48 抑或 f = 0.24 ？

针对这种随着 b，a 取值范围改变而产生的差异情况，我们分别列举了一组10个实例。根据这些数据，我们发现在 KC-A 公式中，出现了三次 f 系数大于1的情况，这表明在所标注的情形中，出现了可以加杠杆——全部投入所有本金资金，还可以再外借资金投入——这显然有悖稳健投资的初衷，同时也很难确保立于不败之地。

同样的，在公式 KC-B 中，也出现了三次大于 1.0 的 f 系数，表明也可以加杠杆。尤其是在 e.g.9 中，计算出了 f = 25.347 的较大比例，这种扩大到 25倍杠杆的投资，显然有些疯狂，一招不慎，就失败出局了。

基于这些对比数据，结合我们的其他考察，我们在有福金融 UfqiFina 最终采用了 KC-C 公式。
通过分析，我们发现，KC-C 在各种情况下的 b , a 假设数据中，都能较稳定地输出 f 系数，控制在 0.0 ~ 1.0 之间，比较符合预期。
即便是在极端情况下，f 系数出现负值（见上图表中 e.g.10），也即，建议在反面反方向下注时，出现小于 -1.0 时，也在 -1.13 附近，可以视为可接受。

KC-C.
f = p – q / r , r = b / a

至于数学上等价的公式，在实际应用中却出现了完全不一致、不等价的情况，需要有待做进一步地分析与探究。

这是温习经济学著作的第三十七篇习作，之前的各篇附列如下。最近的附列在前。