↖  概率中的独立事件与连续概率事件..


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2023-01-21 , 7085 , 896 , 114

[编按: 转载于 雪球网/骑行夜幕的统计客, 2016-06-07. 原标题《不懂概率论,你将被利用》,作者:刘润。]

罗胖最近一期讲   “非理性”的节目《那些温柔的操纵》,很有意思。
传统经济学的基本假设,是   “人是理性的”,人总能在所知信息中做出理性的、对自身最有利的决策。但是,很多经济学家慢慢发现,其实这个假设是有问题的。人在很多时候,作出的决策其实“非理性”。这种对非理性的研究,构成了一门新的学科:《行为经济学》。
但是,万万没有想到,这期节目中的一个关于抛硬币的小例子,引起了巨大讨论。罗胖在节目里举了个例子说:
连续抛了10次硬币,出现了10次正面,那么第11次还出现正面的概率,是多少?
罗胖说,依然是1/2。罗胖用这个例子,来说明赌徒的非理性。一位叫   “周服老于”的网友发微博嘲笑罗胖没学过概率。说其实应该是万分之五。

我本来以为这位仁兄是在说冷笑话,娱乐大家。但是当我翻开成百上千的转发,看到无数人真的认为是万分之五的时候,就惊呆了。原来,他,和他们,是当真的。
我的是做传统企业互联网转型的培训、咨询和投资的。但是作为南京大学数学系毕业的学生,我实在是忍不住,给大家讲讲这道题吧。


独立事件
首先要给大家普及一个重要的概率论的概念:独立事件。什么叫独立事件?就是两件事情A和B,事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响。

我们就用硬币举例子。当我们讲硬币的时候,我们就是假设,抛出正面、背面的概率各是50%,50%。那些脑洞很大,说正反面花纹不一样,所以概率不是50:50的,或者说我见过把硬币抛出来最后竖着的,请绕道,左转到下一个时空去讨论这个问题。
一个50:50的硬币,第一次抛出正面的概率,是50%。你抛了,抛出来真的是正面。然后你打算抛第二次。那第二次抛出正面的概率是多少呢?

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第二次的概率抛出正面的概率,还是50%。因为第二次抛硬币,和第一次抛硬币,是独立事件。这个问题就像,你的第一个孩子是女孩,你很想生一个男孩,于是打算再生一个。那么,第二个是男孩的概率是多少呢?还是50%。
我想很多人能理解。
第二次抛完了,还是正面。再抛第三次。那第三次的是正面的概率是多少呢?就相当于你连生了两个女儿,第三个还是女儿的概率是多少呢?第三次依然是独立事件,所以,还是50%。
问题来了,第四次,第五次,第六次 …… 第十次,假如都是正面,那么第十一次还是正面的概率是多少呢?
这时候,有一部分人脑洞又打开了。能连续抛出10次正面,是几乎不可能的,这个硬币一定有问题。能生出10个女儿,这对夫妇的基因一定奇特。所以,后面不是50:50。嗯,你们的脑洞确实也很大。请出门左转。
我们假设这枚硬币真的没问题,这对夫妇生10个女儿真是因为运气。那么,第11个是正面,是女儿的概率是多少呢?

UfqiLong

第11个依然是独立事件。所以,还是50%。


这就让一些人难于理解了。你可以这么想。假如说这个抛硬币的人患有   “短时记忆障碍”,他不记得自己抛了多少次了。他认为是第11次,但其实是第8次。那么这次抛出的结果,会因为他记对,或者记错,而被改变吗?显然不会。这多么荒谬。
或者你这么想,这个人没有短时记忆障碍,但是在他抛之前,这个硬币已经被人抛了5次了,而且都是正面。他不知道。这个第11次,其实是16次,那么,这次抛出来的概率,会因为一些他不知道的前5次受影响吗?显然不会,依然荒谬。
每一次抛硬币,都是一次独立事件,就算你前面抛了100万年,几十亿次都是正面,这一次是正面的概率,还是50%。


连续概率事件


周服老于的问题,是把独立事件,理解为了连续概率事件。如果我一次都没有抛,你问我,下面连续抛出11次正面的概率是多少?我会告诉你,这11次都是独立事件,所以每一次都是50%。所以我从现在开始,连续抛11次,或者11个人同时各抛1次,同时是正面的概率,是11个50%相乘。大概是万分之五。
这叫连续概率事件。
用连续概率事件的逻辑,来理解每一个独立事件,恰恰是《行为经济学》中非理性的一个重要体现。
赌场中,开了10次   “小”,你会觉得这一把总该“大”了吧。这就是人的非理性,用连续概率事件,理解独立事件。你生了10个女儿,想这一次再不是儿子,就没有天理了吧。这也是非理性,用连续概率事件,理解独立事件。

这一次开大,这一次生女儿,还依然是50%。一点不多,一点不少。
条件概率
很多参与这个话题讨论的同学,在用一个他自己未必完全懂的概念,叫做条件概率。什么叫条件概率?就是:A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
我举个例子。
一个家庭中有2个小孩,已知其中一个是女孩,这时另一个小孩也是女孩的概率为?
很多人说,另一个孩子是男是女,应该是独立事件,所以是50%。其实不然。这里   “另一个”并不独立,而是条件概率。
一个家庭中,大小孩、和小小孩的性别组合有四种可能性:男男(a),男女(b),女男(c),女女(d)。大小孩、小小孩的性别是独立事件,所以都是50%。所以组合出来的abcd四种可能性,各是25%(=50%x50%)。
条件概率中已知条件(B条件)是其中一个是女孩,也就是排除了全集abcd中的a。bcd成为条件B。在bcd中,另一个也是女孩的只有d。所以,另一个也是女孩的概率,是d/bcd=33.33%。
真的那么难理解吗?找到你大学数学老师的电话,打给他吧。

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UfqiLong


不懂概率论,你将被利用


世界按照它的自有规律在运转,不管你理不理解。理解,你会利用它。不理解?理解的人会利用你。
以前有个观点:
农村男人多的原因是计划生育允许农家第一胎如果是女的可以生第二胎导致的。理由是第一胎男的,那就不生了;是女的,就力争第二胎生男的,结果导致男女比例失衡。

很多人对此表示赞同。这是对概率论多么的无知啊。每一胎的独立性,只要生男生女的概率是50:50(当然,其实并不那么准确),那么不管你用什么国家政策,什么个人策略,中国的出生人口,都是男女各一半。如果国家制定政策的部门没有真正学过概率论的人,真的认同了上面的逻辑,将有多可怕。
以前有个笑话:
有个人坐飞机,带了个炸弹。问他为什么,答,飞机上有1个炸弹的概率(假设)是万分之一,根据概率论,同时有两个炸弹的概率就是亿分之一,所以我自己带一个炸弹来降低该飞机上有炸弹的概率。
很多人对此觉得很可笑,但是不知道这个笑话的问题出在哪里。这个问题就出在用连续概率事件,理解独立概率事件。
也许,有关部门应该密切关注周服老丁的乘机计划。
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在终极的分析中,一切知识都是历史;
在抽象的意义下,一切科学都是数学;
在理性的基础上,所有判断皆是统计学。



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+概率 +硬币 +罗胖 +小孩 +女孩

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